前言
在这里，我们约定，能用 int 表示的数据视为单精度，否则为高精度。所有函数的设计均采用带返回值的形式。
本文包含
- 高精度加法
- 高精度减法
- 高精度乘法
3.1 高精度乘高精度的朴素算法
3.2 高精度乘高精度 FFT 优化算法
3.3 高精度乘单精度 - 高精度除法
4.1 高精度除高精度
4.2 高精度除单精度 - 高精度取模
5.1 高精度对高精度取模
5.2 高精度对单精度取模 - 高精度阶乘
- 高精度幂
- 高精度 GCD
- 高精度进制转换
- 高精度求平方根
下面切入正题
高精度加法
传入参数约定：传入参数均为 string 类型，返回值为 string 类型
算法思想：倒置相加再还原。
算法复杂度：o(n)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加
{
string ans;
int na[L]={0},nb[L]={0};
int la=a.size(),lb=b.size();
for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
int lmax=la>lb?la:lb;
for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
if(na[lmax]) lmax++;
for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
return ans;
}
int main()
{
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl;
return 0;
}
高精度减法
传入参数约定：传入参数均为 string 类型，返回值为 string 类型
算法思想：倒置相减再还原。
算法复杂度：o(n)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数
{
string ans;
int na[L]={0},nb[L]={0};
int la=a.size(),lb=b.size();
for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
int lmax=la>lb?la:lb;
for(int i=0;i<lmax;i++)
{
na[i]-=nb[i];
if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
}
while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++;
for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
return ans;
}
int main()
{
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<sub(a,b)<<endl;
return 0;
}
高精度乘法
1）高精度乘高精度的朴素算法
传入参数约定：传入参数均为 string 类型，返回值为 string 类型
算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。
算法复杂度：o(n^2)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数
{
string s;
int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
for(int i=1;i<=La;i++)
for(int j=1;j<=Lb;j++)
nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
return s;
}
int main()
{
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
return 0;
}
2）高精度乘高精度 FFT 优化算法
传入参数约定：传入参数均为 string 类型，返回值为 string 类型
算法思想：将两个高精度乘数每个数位上的数视为多项式对应的系数，用 o(nlog(n))的复杂度转成点值形式，再利用 o(n)的复杂度相乘，最后对点值进行差值，用 o(nlog(n))的复杂度还原成多项式的形式，即原来的形式。
算法复杂度：o(n*log(n))
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
int l1,l2,l;
int i;
string ans;
memset(sum, 0, sizeof(sum));
l1 = sa.size();
l2 = sb.size();
for(i = 0; i < l1; i++)
x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
for(i = 0; i < l2; i++)
x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位
{
sum[i + 1] += sum[i] / 10;
sum[i] %= 10;
}
l = i;
while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位
for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出
return ans;
}
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
return 0;
}
3）高精度乘单精度
传入参数约定：传入第一个参数为 string 类型，，第二个参数为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。
算法复杂度：o(n)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=100005;
int na[L];
string mul(string a,int b)//高精度a乘单精度b
{
string ans;
int La=a.size();
fill(na,na+L,0);
for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0';
int w=0;
for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;
while(w) na[La++]=w%10,w/=10;
La--;
while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';
return ans;
}
int main()
{
string a;
int b;
while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
return 0;
}
高精度除法
1）高精度除高精度
传入参数约定：传入第一第二个参数均为 string 类型，第三个为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：倒置，试商，高精度减法。
算法复杂度：o(n^2)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
if(La==Lb)
{
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]>b[i]) break;
else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
}
for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
{
a[i]-=b[i];
if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
}
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
return 0;//返回差的位数
}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
{
string s,v;//s存商,v存余数
int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
//cout<<0<<endl;
return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
if(i>=t) b[i]=b[i-t];
else b[i]=0;
Lb=La;
for(int j=0;j<=t;j++)
{
int temp;
while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
{
La=temp;
r[t-j]++;
}
}
for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
//cout<<s<<endl;
i=tp;
while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
if(v.empty()) v="0";
//cout<<v<<endl;
if(nn==1) return s;
if(nn==2) return v;
}
int main()
{
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<div(a,b,1)<<endl;
return 0;
}
1）高精度除单精度
传入参数约定：传入第一参数为 string 类型，第二个为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：模拟手工除法。
算法复杂度：o(n)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
string div(string a,int b)//高精度a除以单精度b
{
string r,ans;
int d=0;
if(a=="0") return a;//特判
for(int i=0;i<a.size();i++)
{
r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商
d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数
}
int p=0;
for(int i=0;i<r.size();i++)
if(r[i]!='0') {p=i;break;}
return r.substr(p);
}
int main()
{
string a;
int b;
while(cin>>a>>b)
{
cout<<div(a,b)<<endl;
}
return 0;
}
高精度取模
1）高精度对高精度取模(以在高精度除高精度中实现，此处不再赘述)
2）高精度对单精度取模
传入参数约定：传入第一参数为 string 类型，第二个为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：利用(a+b)% c=a % c+b % c。
算法复杂度：o(n)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int mod(string a,int b)//高精度a除以单精度b
{
int d=0;
for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数
return d;
}
int main()
{
string a;
int b;
while(cin>>a>>b)
{
cout<<mod(a,b)<<endl;
}
return 0;
}
高精度阶乘
传入参数约定：传入参数为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：高精度乘单精度的简单运用。
算法复杂度：o(n^2)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=100005;
int a[L];
string fac(int n)
{
string ans;
if(n==0) return "1";
fill(a,a+L,0);
int s=0,m=n;
while(m) a[++s]=m%10,m/=10;
for(int i=n-1;i>=2;i--)
{
int w=0;
for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;
while(w) a[++s]=w%10,w/=10;
}
while(!a[s]) s--;
while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';
return ans;
}
int main()
{
int n;
while(cin>>n) cout<<fac(n)<<endl;
return 0;
}
高精度幂
传入参数约定：传入第一参数为 string 类型，第二个为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：FFT 高精乘 + 二分求幂。
算法复杂度：o(n*log(n)*log(m))
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
int l1,l2,l;
int i;
string ans;
memset(sum, 0, sizeof(sum));
l1 = sa.size();
l2 = sb.size();
for(i = 0; i < l1; i++)
x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
for(i = 0; i < l2; i++)
x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位
{
sum[i + 1] += sum[i] / 10;
sum[i] %= 10;
}
l = i;
while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位
for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出
return ans;
}
string Pow(string a,int n)
{
if(n==1) return a;
if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);
string ans=Pow(a,n/2);
return mul(ans,ans);
}
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
string a;
int b;
while(cin>>a>>b) cout<<Pow(a,b)<<endl;
return 0;
}
高精度 GCD
传入参数约定：传入参数均为 string 类型，返回值为 string 类型
算法思想：高精度加减乘除的运用。
算法复杂度：已无法估计。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string add(string a,string b)
{
string ans;
int na[L]={0},nb[L]={0};
int la=a.size(),lb=b.size();
for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
int lmax=la>lb?la:lb;
for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
if(na[lmax]) lmax++;
for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
return ans;
}
string mul(string a,string b)
{
string s;
int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
for(int i=1;i<=La;i++)
for(int j=1;j<=Lb;j++)
nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
return s;
}
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
if(La==Lb)
{
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]>b[i]) break;
else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
}
for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
{
a[i]-=b[i];
if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
}
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
return 0;//返回差的位数
}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
{
string s,v;//s存商,v存余数
int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
//cout<<0<<endl;
return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
if(i>=t) b[i]=b[i-t];
else b[i]=0;
Lb=La;
for(int j=0;j<=t;j++)
{
int temp;
while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
{
La=temp;
r[t-j]++;
}
}
for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
//cout<<s<<endl;
i=tp;
while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
if(v.empty()) v="0";
//cout<<v<<endl;
if(nn==1) return s;
if(nn==2) return v;
}
bool judge(string s)//判断s是否为全0串
{
for(int i=0;i<s.size();i++)
if(s[i]!='0') return false;
return true;
}
string gcd(string a,string b)//求最大公约数
{
string t;
while(!judge(b))//如果余数不为0，继续除
{
t=a;//保存被除数的值
a=b;//用除数替换被除数
b=div(t,b,2);//用余数替换除数
}
return a;
}
int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
string a,b;
while(cin>>a>>b) cout<<gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}
高精度进制转换
传入参数约定：传入第一个参数为 string 类型，第二第三均为 int 型，返回值为 string 类型
算法思想：模拟手工进制转换。
算法复杂度：o(n^2)。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//将字符串表示的10进制大整数转换为m进制的大整数
//并返回m进制大整数的字符串
bool judge(string s)//判断串是否为全零串
{
for(int i=0;i<s.size();i++)
if(s[i]!='0') return 1;
return 0;
}
string solve(string s,int n,int m)//n进制转m进制只限0-9进制，若涉及带字母的进制，稍作修改即可
{
string r,ans;
int d=0;
if(!judge(s)) return "0";//特判
while(judge(s))//被除数不为0则继续
{
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商
d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余数
}
s=r;//把商赋给下一次的被除数
r="";//把商清空
ans+=d+'0';//加上进制转换后数字
d=0;//清空余数
}
reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下
return ans;
}
int main()
{
string s;
while(cin>>s)
{
cout<<solve(s,10,7)<<endl;
}
return 0;
}
高精度求平方根，思路就是二分 + 高精度加减乘除法
设数的长度为 n，则需二分 log(2,10^n)次即 nlog(2,10) 约等于 n3.3，由于数的长度为 n，朴素高精度乘法复杂度为 o(n^2)。故朴素算法求解高精度平方根复杂度为 O(n^3)
当然，你也可以用 FFT 优化下高精度乘法。
下面的代码实现了求大整数平方根的整数部分。
import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
static Scanner cin = new Scanner (new BufferedInputStream(System.in));
public static BigInteger BigIntegerSqrt(BigInteger n){
BigInteger l=BigInteger.ONE,r=n,mid,ans=BigInteger.ONE;
while(l.compareTo(r)<=0){
mid=l.add(r).divide(BigInteger.valueOf(2));
if(mid.multiply(mid).compareTo(n)<=0){
ans=mid;
l=mid.add(BigInteger.ONE);
}else{
r=mid.subtract(BigInteger.ONE);
}
}
return ans;
}
public static void main(String args []){
BigInteger n;
int t;
t= cin.nextInt();
while(t > 0)
{
t--;
n=cin.nextBigInteger();
BigInteger ans=BigIntegerSqrt(n);
System.out.println(ans);
}
}
}
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=2015;
string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加
{
string ans;
int na[L]={0},nb[L]={0};
int la=a.size(),lb=b.size();
for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
int lmax=la>lb?la:lb;
for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
if(na[lmax]) lmax++;
for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
return ans;
}
string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数
{
string ans;
int na[L]={0},nb[L]={0};
int la=a.size(),lb=b.size();
for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
int lmax=la>lb?la:lb;
for(int i=0;i<lmax;i++)
{
na[i]-=nb[i];
if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
}
while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++;
for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
return ans;
}
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数
{
string s;
int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
for(int i=1;i<=La;i++)
for(int j=1;j<=Lb;j++)
nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
return s;
}
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
if(La==Lb)
{
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]>b[i]) break;
else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
}
for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
{
a[i]-=b[i];
if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
}
for(int i=La-1;i>=0;i--)
if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
return 0;//返回差的位数
}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
{
string s,v;//s存商,v存余数
int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
//cout<<0<<endl;
return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
if(i>=t) b[i]=b[i-t];
else b[i]=0;
Lb=La;
for(int j=0;j<=t;j++)
{
int temp;
while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
{
La=temp;
r[t-j]++;
}
}
for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
//cout<<s<<endl;
i=tp;
while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
if(v.empty()) v="0";
//cout<<v<<endl;
if(nn==1) return s;
if(nn==2) return v;
}
bool cmp(string a,string b)
{
if(a.size()<b.size()) return 1;//a小于等于b返回真
if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1;
return 0;
}
string BigInterSqrt(string n)
{
string l="1",r=n,mid,ans;
while(cmp(l,r))
{
mid=div(add(l,r),"2",1);
if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1");
else r=sub(mid,"1");
}
return ans;
}
string DeletePreZero(string s)
{
int i;
for(i=0;i<s.size();i++)
if(s[i]!='0') break;
return s.substr(i);
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
string n;
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n;
n=DeletePreZero(n);
cout<<BigInterSqrt(n)<<endl;
//cout<<BigInterSqrt(n).size()<<endl;
}
return 0;
}